miércoles, 14 de noviembre de 2012

Introducción a la geometría analítica

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La geometría analítica es un descubrimiento de principios del siglo XVII por los dos matemáticos Descartes y Fermat. Esta ciencia se basa  en que toda la geometría se puede estructurar bajo un sistema de coordenadas, de ello se desprende que todos los elementos los podemos determinar mediante ecuaciones algebraicas.

Coordenadas


El sistema de coordenadas cartesiano nos permite determinar la posición de un punto en el plano mediante 2 números,  la proyección de cada punto la hacemos mediante un rectángulo cuyos lados son las coordenadas del punto.
El sistema de coordenadas cartesiano queda determinado por una unidad lineal para la medida de las longitudes y por dos ejes que son perpendiculares numerados según un orden y numeración equidistante entre cada punto. El eje horizontal es x (eje de abscisas) mientras que el vertical es el eje y (eje de ordenadas), la intersección de ambos ejes es el origen de coordenadas.
El origen de coordenadas se suele representar con la letra O, por tanto tenemos el eje de las abscisas Ox en sentido positivo desde el origen de coordenadas hacia la derecha, mientras que a partir del origen de coordenadas hacia la izquierda es negativo. El eje de ordenadas por encima del origen de coordenadas es positivo mientras que por debajo es negativo.
Para indicar la posición de un punto, se marca el nombre del punto y a continuación se coloca la longitud de la localización del punto sobre el eje x seguido de una coma se coloca la localización en longitud del punto sobre el eje y, cerrando a continuación el paréntesis. Por ejemplo P queda determinado por sus dos coordenadas (x,y), tres unidades sobre el eje x a partir del origen de coordenadas y cinco unidades sobre el eje y a partir del mismo origen, decimos que las coordenadas del punto son (3,5).
Como podemos ver en el dibujo, para cualquier punto tenemos que si el eje X >0 e y >0, el punto está situado en el primer cuadrante (en el borde superior derecho de la intersección de los ejes). Si x <0 e y >0 tenemos que el punto está situado en el segundo cuadrante, (lado izquierdo superior de la intersección de los 2 ejes). Si el punto en sus coordenadas x e y es menor que cero está en el tercer cuadrante mientras que si  x >0 e y <0 está situado en el cuarto cuadrante.
Si consideramos los ejes cartesianos con un ángulo distinto de 90° diremos que el sistema de coordenadas es oblicuo.



Sobre el primer cuadrante tenemos el punto A con coordenadas (4,2), esto quiere decir que sobre el eje x a la derecha hemos contado cuatro unidades mientras que sobre el eje y vertical hemos contado con dos unidades, de esta forma marcamos que este punto tiene por coordenada x cuatro unidades mientras que por coordenada y tiene dos unidades.
En el segundo cuadrante hacemos lo mismo, pero como sobre el eje x tenemos que se cuenta del origen O hacia la izquierda tenemos que contar cuatro unidades en negativo, mientras que sobre el eje vertical, contamos seis unidades que por estar encima del origen de coordenadas son positivas,, corresponde al número seis. Las coordenadas del punto B son por tanto (-4,6).
En el tercer cuadrante tenemos que sobre el eje horizontal x contamos seis unidades a la izquierda del origen por lo que tenemos una medida negativa, -6, mientras que para el eje vertical y de las ordenadas hemos contado ocho unidades por debajo del origen O, por lo que también tenemos un número negativo, -8.
En consecuencia las coordenadas del punto C son (-6, -8).
En el cuarto cuadrante tenemos el punto D del que contamos sobre el eje x a la derecha dos unidades mientras que sobre el eje y por debajo del origen de coordenadas contamos cuatro unidades por tanto es un número negativo, -4. En consecuencia las coordenadas del punto D son (2, -4).



En las coordenadas polares sobre el primer cuadrante marcamos un punto A con su radio polar de dimensión 4,47 y con su ángulo polar de 26,57°. Todo punto queda definido por su distancia al origen de coordenadas, que es la primera medida y por el ángulo que forma respecto al eje x empezando a contar desde cero sobre éste eje y en sentido contrario a las agujas del reloj.
Los grados marcados en este ejemplo son 60ª les (sexagesimales) que quiere decir que toda la circunferencia completa son 360°, si consideramos la circunferencia de 400º tendríamos grados del tipo centesimales, en el que cada cuadrante correspondería a 100°.
la amplitud o ángulo polar se suele tomar en coordenadas polares mediante radianes, considerando que 180° (sexagesimales) son en realidad pi-radianes.
En el segundo cuadrante en color azul tenemos otro ejemplo de otro punto B cuya coordenada primera tiene una longitud de 7, 21 unidades mientras que el ángulo que forma respecto al eje x positivo es de 123,69°.
en el tercer cuadrante tenemos un punto C que dista del origen de coordenadas 10 unidades y que forma con el eje X  233,13°.
En el cuarto cuadrante tenemos otro punto D QUE dista 4,47 unidades y forma 296,57°.

El punto

Tenemos los dos ejes cartesianos, el eje horizontal x y el eje vertical y.
Un punto A en el primer cuadrante tiene por coordenadas cuatro sobre el eje x y dos sobre el eje y, lo representamos A(4,2).
En el segundo cuadrante tenemos el punto B, con una dimensión cuatro sobre el eje  x  negativa, mientras que sobre el eje y la dimensión seis es positiva, B(-4,6).
En el tercer cuadrante tenemos que las dos coordenadas del punto son negativas, son las que corresponden al punto C(-6,-8), mientras que en el cuarto cuadrante x es positivo y la medida sobre el eje y es negativa, esto corresponde al punto D (2,-4)

La recta




Como podemos ver en el dibujo, la ecuación general de una recta viene definida por los siguientes términos:
Ax+By+C=0.
Si despejamos todos los términos dejando sólo la variable y, tenemos la ecuación ordinaria
y=(-A/B)x-C/B, también denominada pendiente ordenada, debido a que el coeficiente (-A/B) que aparece al lado de la variable x es la pendiente de la recta, en este caso 4/3. Mientras que la denominación de ordenada corresponde al coeficiente -C/B que aparece sin ninguna variable (en el ejemplo con valor cuatro) y corresponde realmente a la intersección de la recta con el eje y, la ordenada (en este caso el punto 4 del eje y).

Si cogemos una ecuación de una recta y despejamos el coeficiente hasta dejarlo solo de un lado de la igualdad, y a continuación lo dividimos por un término del mismo valor (el signo no importa) tenemos que a este lado de la ecuación queda una unidad negativa (en el dibujo dividimos -12 por 12).
Al otro lado de la ecuación hemos tenido que dividir por el mismo número anterior, si al mismo tiempo los numeradores los dejamos sólos con las variables y cambiamos de signo a ambos miembros para que quede el segundo miembro con 1 positivo,  obtendremos lo que se llama la ecuación simétrica, canónica o segmentaria.
Los denominadores de las variables corresponden a los puntos de intersección de la recta con los ejes respectivos, por ejemplo en el dibujo la ecuación tiene en primer término la variable equis dividida por tres, con signo -, esto quiere decir que la recta corta al eje X en el punto -3. De la misma forma debajo de la variable y aparece el número cuatro, esto significa que la recta corta al eje y en el punto cuatro.


La pendiente de la recta es el resultado de dividir el segmento vertical GF (proyección de la recta sobre el eje vertical) entre el segmento horizontal IH (proyección de la recta sobre el eje horizontal) de un par de puntos de la misma. En este caso particular se ha cogido F sobre el eje vertical, para tener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos cualesquiera obtendremos la misma a partir de  puntos que no corten necesariamente al eje y.
Como podemos observar en el dibujo el segmento vertical GF es en realidad y-b, siendo el segmento b la longitud que va desde el punto B hasta el origen de coordenadas.
Podemos observar en el dibujo también que el segmento x es en realidad la proyección de BC.
Tenemos  en consecuencia que la pendiente es igual a FG/HI, o lo que es lo mismo:
m=(y-b)/x, si despejamos la variable y tenemos la ecuación ordinaria de la recta:  y = mx+b
La ecuación del dibujo corresponde a dos líneas ortogonales que pasan por el origen de coordenadas, puede ser una cónica degenerada o bien una línea degenerada. Si graficamos la recta dando valores a la x tenemos lo siguiente:
(x-y)=0/(x+y), esto es igual a (x-y)=0 
(x+y)=0/(x-y), esto es igual a (x+y)=0 
Por tanto tenemos que la gráfica de esta recta comprende a las gráficas de ambas ecuaciones:


(x-y)=0 
 (x+y)=0 






En la figura tenemos una línea roja cuya ecuación es y= x, cuando x vale 1, y vale1 cuando x vale 2 y vale 2, etc., en consecuencia tenemos una recta que es la bisectriz de los dos ejes cartesianos.
Tenemos también la ecuación y= -x correspondiente a la línea verde, cuando x vale -1 y vale 1, para todo número sobre el eje x tenemos que sobre y vale el mismo pero de signo contrario. Es la recta simétrica de la anterior respecto al eje y.
Tenemos también la ecuación de la línea degenerada transformada en un punto correspondiente a la siguiente expresión:
x al cuadrado más y al cuadrado igual a cero.
Es la ecuación de una circunferencia cuyo radio vale cero, ecuación sólo válida para el punto de coordenadas (0,0).
Tenemos en color magenta la ecuación de la recta que representa la relación de proporcionalidad directa entre dos dimensiones, cuanto más se incrementa sobre las x una dimensión, también se incrementa sobre el eje y, decimos por tanto que son directamente proporcionales. La ecuación de esta relación de proporcionalidad directa es una recta que pasa siempre por el origen de coordenadas, ya que cuando una de las dos dimensiones vale cero la otra también.
Tenemos una relación inversamente proporcional que es la opuesta a la anterior y viene representado por una hipérbola equilátera, en el dibujo  es la curva de  2 ramas representada en color naranja. Dos elementos inversamente proporcionales son aquellos que cuando el uno crece el otro decrece, por ejemplo a más velocidad en hacer un trayecto menos tiempo tardaremos en llegar, si representamos eso sobre los dos ejes cartesianos, tenemos que sobre el eje x podemos poner la velocidad, tenemos por tanto que cuanto más voy incrementando la medida sobre este eje más se va decreciendo el tiempo que tardo en llegar representado sobre el otro eje y, su representación es la curva cónica denominada hipérbola.

Si quitamos la variable dependiente de una ecuación -la y-, obtenemos una ecuación cuya variable única es la x, si calculamos el valor de esta ecuación o igualdad observamos en el ejemplo del dibujo que por ser una ecuación cuadrática (aquella cuyo exponente máximo en cualquiera de sus términos es el número dos) que tiene dos resultados, estos son los dos valores correspondientes a la variable x, esto quiere decir que por estos 2 puntos pasan dos líneas verticales cuyas ecuaciones son:
  x =5   x = -1 

Conceptos básicos para entender la ecuación vectorial de una recta

Suma, resta y producto de vectores
Un vector es un porción o segmento de recta que está dirigido en el espacio,todo vector se apoya en un punto denominado origen, tiene una longitud denominada módulo que comienza en el origen y termina en el extremo, este extremo se marca con una flecha marcando su sentido, nos dice hacia qué lado se dirige el vector. La dirección del vector es la que corresponde a la línea de orientación del segmento.

Hay magnitudes escalares que quedan definidas por un número, como por ejemplo el peso, o la masa, etc., mientras que hay otras magnitudes que son vectoriales como por ejemplo la velocidad, ya que ésta aparte debe de indicar la dirección, el sentido, etc.

Suma de vectores


En la figura podemos observar la suma de cuatro vectores: al vector de color rosa le sumamos el verde, a éste el azul y a éste el amarillo. Para poder sumarlos lo que hacemos es lo siguiente: a partir del primero se coloca en el extremo donde está la flecha  el segundo, a partir del segundo el tercero y así sucesivamente. Tenemos que el primer vector en color rosa tiene dos componentes, los que corresponden al eje x y al eje y, una unidad y cuatro unidades respectivamente (1,4). 
El segundo vector se coloca su origena a partir de la coordenada de este último punto, podemos observar que el vector verde tiene por coordenadas 1 sobre el eje X. porque va hacia la derecha y -5 sobre el eje y porque va hacia abajo. En conclusión la suma de estos dos vectores, el rojo y el verde nos daría un vector de componentes o coordenadas (2,-1) -no representado en el dibujo.
Para conseguir este vector resultado de la suma de los dos anteriores se podría unir el origen del primero que está en las coordenadas 0,0 con el extremo del segundo de coordenadas (2,-1). Podemos deducir que analíticamente la forma de calcularlo es sumar los dos componentes, los de la x: 1 + 1 y los de la y: 4+ -5. Haciendo la misma operación con los otros dos vectores, tenemos que a partir del extremo del verde en el punto C colocamos el vector azul de componentes 2 y 5, esto es, dos unidades sobre el eje x y cinco unidades sobre el eje y. 
Por último sobre el extremo D de este vector colocamos el vector amarillo, cuyas coordenadas son ambas negativas ya que el sentido es hacia la izquierda y hacia abajo, por tanto negativo en las dos direcciones de los ejes cartesianos. Al unir el punto extremo E del final del amarillo como el origen A del vector rosa, tenemos el vector negro de coordenadas (2,3), es el resultado de sumar todos los vectores anteriores. Podemos verificar que esto es cierto si tomamos todas las coordenadas en x de los cuatro vectores tenemos 1 + 1 + 2 - 2, lo que nos da un resultado de 2, si hacemos lo mismo con los componentes sobre el eje y, tenemos 4 más -5 + 5 más -1, lo que nos da un resultado de tres, que es lo que sube el vector sobre el eje y.




En el dibujo podemos observar la suma de otros cuatro vectores, al vector de color rosa con origen en el de coordenadas, se le suma el verde, a éste el azul y a éste el amarillo. Si unimos el extremo E del vector amarillo con el origen  A del primero obtenemos el resultado de sumar los cuatro vectores. 
Podemos observar que los componentes horizontales del vector son negativos en el caso del vector de color rosa y amarillo, ya que ambos van a la izquierda, sus unidades son 3 y 2, respectivamente. 
Podemos observar también que el único vector que retrocede hacia abajo es el amarillo, por ello tiene en el componente correspondiente al eje y un valor negativo, -1. 
Si sumamos las coordenadas en x de los cuatro vectores, tenemos que -3 + 2 + 5 más -2 es igual a dos.
 Si sumamos las coordenadas en y podemos comprobar que 2 + 1 + 1 más -1 es igual a tres. Estos dos componentes 2,3 son realmente los que corresponden al vector negro que representa  la suma de todos los anteriores.

Resta de vectores


En el dibujo podemos ver la resta de dos vectores, el vector rosa menos el azul, por tanto tenemos al restarlos que -2 - 2 es igual a -4 y -1 - 3 es igual a -4, el vector resultante de la resta de los dos anteriores es aquel que tiene por coordenadas en x  y en y, -4, -4, respectivamente.
Si en vez de restar el vector rosa menos el vector azul hacemos al revés, el vector azul menos el rosa, tenemos que dos menos -2 es igual a 4, mientras que 3 menos -1 es igual a 4. Podemos observar que ambos -dibujados en la parte derecha- tienen los mismos componentes pero cambiados de signo, ello supone que el vector formado por los componentes -4, -4 se dirige hacia abajo y hacia la izquierda, por eso tiene la flecha de su sentido así dirigida, mientras que el vector amarillo, de coordenadas 4,4, se dirige hacia la derecha y hacia arriba, por tener ambos componentes positivos tiene también su sentido de orientación a la derecha y hacia arriba.


En el dibujo podemos ver la resta de vector rosa menos el azul, -2 menos -1 es igual a -1 para el componente en x, mientras que -1 menos -3 es igual a 2, en su componente sobre el eje y.
Podemos observar que para restar vectores podemos unir sus extremos mediante un segmento, este nuevo vector de color verde está dirigido al primer vector, al vector que se le resta el segundo.
Podemos comprobar también que la resta de ambos vectores, el de color rosa menos el azul o al revés, genera dos vectores -en color amarillo y en color naranja- con la misma dirección pero con distinto sentido, ambos con el origen en el de coordenadas.


Si restamos el vector v menos el vector u tenemos el vector w (en color rojo) cuyos componentes son -3,6.
Es el resultado de restar el v de componentes -1,9 y el u de componentes 2,3.
v-u      -1-2= -3     y     9-3=6

 Si por contra restamos el rector u menos el vector u, tenemos que sus componentes son 3, -6

Es el resultado de restar el u de componentes 2,3 y el v de componentes -1,9.

u-v    2--1=3    y     3-9= -6


En la figura vemos otro ejemplo de diferencias de vectores u-v, restando las coordenadas en x del primero menos las del segundo y a continuación las coordenadas en y del primero menos el segundo tenemos la diferencia: 2-4=-2      3--1=4
-2,4 son los componentes del vector v, resultado de la diferencia de u menos v

Para representar el vector tenemos que su componente en x va hacia la izquierda, por lo que es negativo, mientras que su componente en y va hacia arriba, por lo que es positivo.


Producto de un vector por un número


En la figura podemos observar el producto de un vector por un número, tenemos un vector -en color naranja- cuyos componentes son 2 sobre el eje x y -1 sobre el eje y. Si multiplicamos este vector por cuatro tenemos un nuevo vector, cuyos componentes son el resultado de hacer el producto de cuatro por cada uno de los componentes del vector: 4 × 2 igual a 8, 4 por -1 igual a -4.
El nuevo vector que es la suma de los cuatro tiene por componentes (8,-4)



Ecuación vectorial, paramétrica, continua, pendiente-ordenada, general y segmentaria



Ecuación vectorial
La ecuación vectorial la podemos construir con un punto cualquiera  de la recta y un vector. Si tenemos por ejemplo el punto de la recta 0, -3 y un vector director CD que define la dirección de la recta, definido por sus componentes, uno en x y dos en y, podemos escribir ya la ecuación vectorial:

xy= coordenadas de un punto cualquiera de la recta +1 parámetro que multiplique a los componentes del vector.
xy= (0,-3) + t (1 , 2)

Ecuaciones paramétricas:
De esta forma x será igual a la coordenada en x del primer punto más el parámetro por la coordenada horizontal o en x del vector.
x = 0 + t .1
De esta forma y será igual a la coordenada en y del primer punto más el parámetro por la coordenada vertical o en y del vector.
y = -3 + t. 2
Según el valor que le demos al parámetro podremos obtener distintos puntos de la recta, si el parámetro lambda o t es igual a 1, tenemos que x vale 1 e y vale -1.
Para el parámetro igual a 2 tenemos que x=2 e y=1, etc.

Ecuación continua
Si despejamos t o lambda de ambas ecuaciones paramétricas y lo que nos queda lo igualamos obtenemos la  ecuación continua, que es la que aparece dentro de la elipse.

Ecuación pendiente-ordenada
Si despejamos en uno de los miembros todos los términos dejando sola la y, tenemos la ecuación que aparece en el rectángulo azul.

Ecuación general
Si despejamos también la y y queda igualada a cero, tenemos la ecuación general.

Ecuación segmentaria
Cuando el segundo miembro de la ecuación es uno y el primer miembro contiene a  a sus términos sólo con las variables x y en el numerador, pasando todos los coeficientes al denominador. Es la ecuación que aparece en el rectángulo rojo.




En el ejercicio se pide calcular puntos de la recta definida por los puntos de coordenadas (2,3) y (6,8).
Si restamos un punto del otro, por ejemplo 6-2 y 8-3 , tenemos 4 y 5, los componentes del vector director de la recta.
Tomando un punto cualquiera, por ejemplo el 2,3, y los componentes del vector 4,5, podemos construir ya directamente la ecuación vectorial de la recta que es la siguiente:
xy=(2,3) +parámetro .(4,5)
Al parámetro que llamamos lambda o t  le damos distintos valores sustituyéndolos en la ecuación, cuando vale uno, x vale 6 e y vale 8, esto quiere decir que éste es otro punto de la recta, por cierto uno de los que nos dan en el enunciado.
Si le damos otro valor al parámetro t, por ejemplo el dos, tenemos que x e y valen respectivamente (10,13), este es otro punto de la recta. Podríamos seguir asignando distintos valores al parámetro para obtener nuevos puntos de la recta.



En este ejercicio se pide, dada la ecuación vectorial de una recta, calcular nuevos puntos, además de su ecuación continua.
Despejamos en la ecuación vectorial los elementos correspondientes a x.
x es igual a la coordenada en x (tres) del punto 3, -4 más el parámetro que tendrá distintos valores y que multiplica al primer componente del vector (dos).
Despejamos también y, que será igual a la coordenada en y del punto (-4) más el parámetro que multiplica al componente en y del vector (que es cinco). De esta manera hemos obtenido las ecuaciones paramétricas de la recta.
Sustituyendo en el parámetro valores distintos, por ejemplo 0 y 2, obtenemos en el primer caso el punto (3,4) y en el segundo caso el punto (7,6). Éstos dos puntos pertenecen a la recta.

Para obtener la ecuación continua despejamos todos los elementos dejando el parámetro t sólo en un miembro, igualando ambos miembros obtenemos la ecuación continua, que es la que aparece en el rectángulo azul.







El vector que podemos observar en el dibujo está dirigido hacia la derecha y hacia abajo, como está hacia la derecha su componente horizontal es positivo, al igual que el eje de abscisas (x). El componente vertical es negativo porque va hacia abajo, al igual que el el eje de las ordenadas (y). Una vez que tenemos los dos componentes del vector AB, podemos calcular su módulo o longitud aplicando el teorema de Pitágoras: la raíz cuadrada de ambos componentes, -2 al cuadrado +5 al cuadrado.
Para obtener la ecuación de la recta que define el vector u y un punto cualquiera, por ejemplo el punto A de coordenadas (1,5), procedemos como sigue: tal y como aparece en el rectángulo amarillo construimos una igualdad en la que en el numerador al miembro x le restamos la coordenada en x del punto (en este caso el uno), al otro lado de la igualdad a la variable  le restamos la otra coordenada y del punto (en este caso el cinco). A los dos miembros los dividimos por el componente correspondiente del vector en x (en este caso el cinco) y el componente del vector en y (para este caso, el valor -2). De esta manera hemos obtenido la ecuación continua de la recta.
Si despejamos en esta igualdad los componentes del vector, tenemos que -2x+2=5y-25, y si al mismo tiempo igualamos esta ecuación a 0, tenemos la ecuación general de la recta: 2x+5y-27=0



Ecuaciones de la recta en el espacio:



En el dibujo tenemos una recta representada en el espacio con sus tres proyecciones, la recta queda definida por 2 puntos que son los extremos del segmento y cuyas coordenadas son (3, 1,4) y (1, 2,2).
Para obtener la ecuación vectorial de la recta necesitamos un punto de la misma y un vector. El vector queda definido por la diferencia entre ambos puntos, podemos observar en el dibujo en los rectángulos amarillos que tanto si restamos el primero del segundo como si lo hacemos de forma inversa el vector (con centro en el origen) que obtenemos en ambos casos tiene los mismos componentes pero de signo opuesto, por tanto ambos tienen la misma dirección que es la dirección de la recta (rectas paralelas tienen la misma dirección).


Para obtener la pendiente de la recta anterior, hemos representado las coordenadas de la recta sobre el plano xy, obteniendo su proyección roja a. Las medidas de este segmento se obtienen al calcular la hipotenusa cuyos catetos son 1 y 2 unidades, esto es 2,24. Si al mismo tiempo restamos la altura o diferencia entre las dos cotas de los puntos, 3 - 1, obtenemos que la altura FG es igual a dos. En la representación aparece el abatimiento del segmento con su altura correspondiente.
En el dibujo tenemos una forma de calcular la pendiente de la recta en el espacio, ésta será el cociente entre FG y AB, esto es, 2 /2,24.

La ecuación de la recta en el espacio queda determinada por la posición de un punto y un vector llamado director, el vector si no es un elemento dado, puede construirse mediante la diferencia entre dos puntos de la recta.
Por ejemplo en el dibujo tenemos el punto de coordenadas 3, 1,4 y el punto de coordenadas 1, 2,2.
Se pide calcular la recta que pasa por esos dos puntos. Si hacemos la diferencia de un punto menos el otro obtenemos un vector, como podemos observar en el dibujo ese vector que se obtiene es paralelo a la recta que pasa por los puntos ya que tiene su misma diferencia en las coordenadas. 
Para definir la recta entonces tenemos un punto, por ejemplo el de coordenadas 3, 1,4 y otro punto que podemos considerar y que queda definido según la dirección del vector. Como sabemos que está en esa dirección pasando por el punto anterior tenemos que estará localizado bajo cierta medida o parámetro, este es el coeficiente que llamamos t. En consecuencia la ecuación -rectángulo ocre- de la recta queda definida de la siguiente manera:
(x,y,z) = P+Vt. 
x,y,z son las variables de la recta, P es un punto cualquiera de la recta del que conocemos sus coordenadas, V es un vector que puede quedar definido por la diferencia entre las coordenadas de 2 puntos y t es el parámetro que determina la posición de cualquier punto que tomemos sobre la recta, ya que al multiplicar el vector por un escalar tenemos siempre puntos sobre la recta.
En el rectángulo verde, observamos que la variable x es igual a la coordenada en x del punto más el componente del vector en  x por el parámetro t. Para las demás variables  ocurre exactamente lo mismo.
Si despejamos el parámetro t en x  tenemos que es igual a (x-3)/2, si hacemos lo mismo con las demás variables e igualamos los tres miembros tenemos la ecuación continua o simétrica de la recta, que es aquella que aparece en el rectángulo amarillo del dibujo.


En el dibujo observamos en el rectángulo amarillo  la ecuación paramétrica de una recta. Para obtener la ecuación general, despejamos el parámetro t de las tres ecuaciones e igualamos dos a dos, por ejemplo la primera con la segunda y la segunda con la tercera. De esta manera obtenemos los tres miembros que aparecen igualados debajo del rectángulo amarillo, en una elipse de color siena y otra de color azul.
Si tomamos los dos miembros de la izquierda -lo que aparece dentro de la elipse de color siena- y despejamos todos los términos hasta igualar a cero obtenemos la ecuación: 3x-2y-1=0, si hacemos lo mismo con la igualdad que aparece dentro de la elipse azul obtenemos la ecuación azul.
Si igualamos ambas ecuaciones y pasamos todos los términos hacia un lado, dejando el cero en el segundo miembro, tendremos la ecuación general de la recta, que es la que aparece en la elipse amarilla.

Pendiente y ángulo de inclinación de una recta


El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje x. La medida del ángulo se toma en sentido contrario a las agujas del reloj.
La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la recta, es lo que se llama tangente inversa: 

 La pendiente (GE/AE) es igual a la tangente del ángulo:
m = tan h, o lo que es lo mismo  1/tan (o tangente elevado a -1) de la pendiente es igual al ángulo h.
  arco tan (de la pendiente)=ángulo



Por ejemplo, el arco cuya tangente (segmento verde) es 0,75 es de 36,87º. 
El ángulo se calcula aplicando tangente inversa a la pendiente, esto quiere decir que si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta vale una unidad, el arco cuya tangente vale la unidad es de 45°.
Si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta es -1, esto quiere decir que la recta tiene una inclinación hacia la izquierda y que forma con el eje x 135°.Como la tangente en este caso es negativa, y tiene por valor -1, el ángulo de la misma va a ser -45. Si tomo 180° y le resto 45°, obtengo el ángulo real que forma esta línea con el eje x, que es 135°.







Para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera, se resta uno del otro:
Por ejemplo la distancia del punto tres al punto uno, que es igual a 3 - 1, o bien es igual a 1 - 3, en ambos casos son dos unidades la diferencia, sin tener en cuenta el signo.
En el dibujo tenemos que si restamos 3 - 0 tenemos tres unidades en equis, mientras que si restamos 0 - 1, tenemos una unidad en y, con signo negativo, lo que nos informa que la recta tiene pendiente hacia arriba a la izquierda.
Cualesquiera que sean los puntos BC, las proyecciones de ambos sobre los ejes condenados están dados por las fórmulas: X=x2-x1, Y=y2-y1.
La pendiente de una recta queda definida por el cociente entre la diferencia de las coordenadas en y y las coordenadas en x.

La pendiente de esta recta del dibujo es 1,8, esto quiere decir que cuando sube 1,8 unidades en vertical y hacia la derecha avanza 1 unidad en horizontal. Esta relación de proporción la podemos expresar con un triángulo rectángulo que tiene cinco unidades como cateto horizontal y nueve unidades como cateto vertical.
La pendiente se expresa por la letra m y es el cociente entre el cateto vertical y el cateto horizontal del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la recta de la que se quiere calcular la pendiente.
En la fórmula Punto-pendiente (fórmula encuadrada en el rectángulo azul) tenemos que al sustituir un punto cualquiera de coordenadas x2 y2 y la pendiente de la recta (definida por la letra m) obtenemos la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos dada su pendiente. Debajo de la fórmula en el rectángulo azul, tenemos un ejemplo de la ecuación cuya pendiente es 9/5.
Si despejamos los términos y dejamos sola la variable y obtenemos la ecuación ordinaria, mientras que si la ecuación queda igualada a cero tenemos la ecuación general.





El ángulo que forma una recta con el eje X se llama ángulo de inclinación de la recta. Si la recta es paralela al eje X el ángulo de inclinación es cero. La tangente del ángulo de inclinación de la recta con el eje X es el coeficiente angular de la recta. En el ejemplo del dibujo tenemos que cuando sobre el eje horizontal se avanza tres unidades, sobre el eje vertical avanzamos una, esto quiere decir que la pendiente de la recta es un tercio o 0,33.

Una recta inclinada hacia la izquierda tiene pendiente negativa, ya que el incremento del eje y debajo del eje x determina sobre y una dimensión negativa. En ejemplo del dibujo tenemos que la pendiente de la recta es -1/2  o también -1/2 partido por 1. Cuando avanzamos hacia la izquierda una unidad por el eje X subimos una con dos unidades por el eje y.



Una recta de pendiente -2,5 y su ecuación: -5 x-2y =14. La pendiente de una recta en esta ecuación queda definida por la expresión: m=-A/B, donde la letra A corresponde al coeficiente al lado de la variable x y la letra B corresponde al coeficiente de la variable y. Por tanto  la pendiente de la recta es m= 5/-2=-2,5


Ejemplos de pendientes de distintas rectas: 6, 4, 2, 0.5, -1, -4, infinita, -0,33



Ejemplos de ángulos de inclinación de distintas rectas: 80.54º, 75.96º, 63.43º, etc.



Incidencia

Incidir quiere decir estar en, pasar por, es lo mismo que decir que está incluido o que pertenece pero es más genérico por cuanto se puede decir que un punto está incluido en una recta pero no se puede decir que una recta está incluida en un punto, de forma genérica e indistintamente podemos decir que un punto incide en una recta o una recta incide en un punto.

Recta que pasa por 2 puntos

Como la pendiente m de la recta tenemos que es el cociente entre la diferencia de coordenadas sobre el eje y, y  la diferencia de coordenadas sobre el eje x, tenemos la siguiente relación:
m=(y2-y1)/(x2-x1), considerando que las coordenadas de ambos puntos son 2 puntos cualesquiera de la recta, sin importar el orden.
Podemos coger otra vez la misma relación (y2-y1)/(x2-x1) dejando las coordenadas de x2 y2 como términos variables xy.
De la misma forma x1 y1 podría ser otro punto cualquiera de la recta, un ejemplo x3 y3.
De esta forma tenemos que (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)
Si despejamos (x-x1), tenemos que:

  (y-y1)=(y2-y1)(x-x1)/(x2-x1)

Si sobre esta ecuación sustituimos dos puntos cualesquiera de la recta podemos obtener la ecuación de la misma partiendo de los dos puntos dados.

Una vez que hemos sustituido los datos, si despejamos los términos dejando sola la variable y, tenemos una ecuación llamada pendiente-ordenada, ya que el coeficiente que está al lado de la variable x ( -9/5 en el ejemplo) corresponde a la pendiente de la recta. mientras que el coeficiente que queda sin variable alguna (17/5 en el ejemplo) es el punto de intersección de la recta con el eje y.

Si despejamos todos los términos  obteniendo una igualdad a cero obtenemos la ecuación general de la recta.

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Plano que pasa por tres puntos




Para construir un plano que pase por tres puntos, primero determinamos dos vectores directores que serán paralelos al plano, para obtenerlos basta con restar dos puntos cualesquiera de los dados. Por ejemplo si restamos el punto B menos el punto A obtenemos el vector AB, 2 - 1 es 1,             3 - 2 es 1,            7 menos -4 es 11,   hacemos exactamente igual con los puntos AC.
Para obtener los dos vectores podemos coger cualquier pareja de puntos.
A continuación hacemos el producto cruz que es un determinante formado por los dos vectores y que se calcula de la siguiente forma:
Construimos una matriz que contenga a los dos vectores directores con una fila sobre la otra.
Cuando utilizamos el vector i, eliminamos su fila y columna por lo que lo que nos queda es un determinante con las columnas 1,3 y 11,7. Multiplicando de forma cruzada ambos tenemos que 1 × 7 es igual a 7 
a continuación le restamos el producto - 3 × 11 es igual a 33.
En consecuencia 7 + 33 es igual a 40.
A continuación hacemos lo mismo con el vector j, eliminamos su fila y columna y tenemos un determinante formado por 1,3 y 11,7. Multiplicamos de forma cruzada 1 × 7 - 3 × 11, y nos queda -26.
Hacemos lo mismo con el vector k y tenemos que el producto de 1 por -3     - 3 × 1 es igual a -6.

Las coordenadas del vector normal queda definido por los tres componentes de este vector, tomando el segundo, el correspondiente al vector j como negativo
Por tanto el vector 40, -26, -6 queda en 40,26, -6, que es el vector normal.
A continuación, como sabemos que todo plano tiene por coeficientes los componentes del vector normal, tomamos un punto cualquiera y lo sustituimos en sus variables xyz correspondientes para obtener la constante D, despejando tenemos que la constante es igual a -116, por lo que la ecuación queda con los coeficientes del vector normal que multiplica a sus variables correspondientes -116 igual a cero, que es lo que aparece al final en el rectángulo azul.

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Para determinar el plano definido por dos rectas dadas en sus ecuaciones paramétricas, operamos de la siguiente forma:
Tomamos los componentes de sus vectores, que son los términos o coeficientes que aparecen al lado del parámetro t: 2, -3,4 en la recta de ecuaciones de color verde y -2, +4, -3 en la recta roja.
Establecidos así sus vectores u v, despejamos en las ecuaciones el parámetro obteniendo las igualdades que aparecen en el rectángulo rosa, de esta manera podemos calcular el punto de intersección de ambas rectas, que es 1, 7,1. Sabemos que por este punto de intersección va a pasar el vector normal del plano, por lo que habrá que sustituir en la ecuación del plano este punto.
Para calcular el vector normal hacemos el producto cruz del determinante cuyas filas son los dos vectores directores del plano u v.
Una vez que obtenemos el vector normal, sus coordenadas son los términos de la ecuación general en la que sustituimos las coordenadas del punto de intersección para hallar la constante D.
Una vez que hemos obtenido el valor de la constante, que en este caso es 19, los sustituimos en la ecuación que queda tal y como aparece en la elipse amarilla al final del dibujo.

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Punto medio de un segmento


Para determinar el punto medio de un segmento delimitado por dos puntos BC, se suman las coordenadas en x y se divide entre dos, obteniendo la nueva coordenada en x del punto medio. Hacemos lo mismo con y para obtener las coordenadas de y.

En el espacio operamos exactamente igual, para determinar el punto medio entre otros dos dados, se suman las cantidades correspondientes a cada una de las variables y se dividen entre dos. 
Por ejemplo, tenemos los puntos de coordenadas 5, 3,1 y 2,4,0, que determinan el segmento de color negro, tenemos que las coordenadas de cada punto en el eje x valen 5 y 2, si sumamos ambas y dividimos esa cantidad entre dos obtendremos el punto medio entre los dos en ese eje.
De igual forma pasará en el eje y y en el eje z. Si proyectamos ortogonalmente los nuevos puntos obtenidos -en verde- sobre la recta negra que une los puntos dados tendremos que, lógicamente, es el punto medio entre tales puntos, ya que si es el punto medio sobre cada uno de los ejes, también serán éstos las proyecciones del punto medio de la recta que une ambos puntos.



Proyección de una recta


La proyección de un segmento sobre el eje de las abscisas cuyos extremos son los puntos 2,3 y 7,6, es un segmento que tiene por coordenadas respectivamente: 2,0 y 7,0. Las coordenadas del segmento sobre el eje horizontal son las coordenadas correspondientes a las x de ambos puntos, esto es, el alejamiento del punto respecto al origen de coordenadas, que en este caso es dos unidades y siete unidades, respectivamente. Como el segmento se ha proyectado sobre el eje x tenemos que la coordenada y de ambos puntos es cero.

En el eje y ocurre todo lo contrario la coordenada x es cero mientras que las coordenadas correspondientes a los puntos extremos del segmento, que en este caso son 3 y 6 coinciden sobre el eje y, siendo los mismos puntos.
La dimensión del segmento proyectado es la diferencia entre un puntoy el otro, por ejemplo sobre el eje y es 6 - 3, que es 3. Si restamos de forma inversa tendremos 3 - 6, que es -3, la medida es la misma pero con signo contrario, por eso en cuestión de distancias lineales lo que importa es el valor absoluto, que quiere decir que se prescinde del signo, sin importar si restamos uno menos el otro o recíprocamente.
en el caso del eje x tenemos exactamente lo mismo, si restamos 7 - 2 obtenemos la distancia entre los dos puntos que es cinco, ésta es la distancia sobre el eje x, restando de forma inversa, 2 - 7 obtenemos -5, cuyo valor absoluto es el mismo, cinco.
para obtener la distancia entre dos puntos que no son paralelos a los ejes, como sucede con los puntos AB cuya distancia es 5,83, tendremos que aplicar el teorema de Pitágoras: la hipotenusa cuadrado es igual al cateto al cuadrado mas el otro cateto al cuadrado, teniendo por tanto que la longitud del segmento a al cuadrado  es cinco (7 - 2) al cuadrado más tres (6 - 3) al cuadrado.



En este caso tenemos el segmento naranja que se proyecta sobre el eje y con coordenadas en y -1, -3, mientras que tenemos que al proyectar los puntos AB sobre el eje x obtenemos por coordenadas en x cuatro, -4.Podemos observar que ambas coordenadas corresponden a las de los puntos en x e y.

 
Tenemos nuevamente el segmento naranja de coordenadas en sus extremos (-3,2) y (2, -2).
Las coordenadas sobre el eje x (en color verde) corresponden a las coordenadas de los puntos en equis,esto es, 2 y -3. Mientras que las coordenadas sobre el eje y corresponden a las de los puntos en sus coordenadas y, esto es, -2,2.



Distancia entre dos puntos


Podemos observar en el dibujo que la proyección del segmento AB es el segmento 4-1, tenemos que la resta de ambos números nos determina la dimensión del segmento: Tres. Por tanto podemos decir que en 2 puntos cualesquiera, las proyecciones del segmento que lo determinan sobre los ejes condenados están dadas por las fórmulas: x = x2-x1     
Si esta construcción que acabamos de hacer la hacemos igualmente sobre el eje y, tenemos que el segmento AB proyectado sobre el eje y determina la distancia  4,5  menos  2, que es igual a 2,5.
y = y2-y1

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado, en consecuencia si obtuvimos las dimensiones de los segmentos proyectados sobre los ejes cartesianos, podemos deducir que la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano es igual a la raíz cuadrada de la diferencia de coordenadas en x al cuadrado más la diferencia de coordenadas en y   al cuadrado: 
Distancia entre dos puntos= la raíz cuadrada de: (y2-y1) al cuadrado más  (x2-x1) al cuadrado.



Puntos alineados sobre una recta

Puntos linealmente dependientes o alineados


Para comprobar si 3 puntos ABC están alineados y por tanto están sobre una recta, podemos calcular la distancia entre dos próximos, por ejemplo entre los puntos A y B. A continuación calculamos la distancia entre B y C, si ambas distancias sumadas  determinan un número igual a la distancia entre los extremos A y C, ello quiere decir que los tres puntos están alineados.
Si las dos distancias no fueran iguales  los 3 puntos formarían un triángulo, figura en la que siempre la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del otro lado.
Para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, hacemos uso del teorema de Pitágoras, en el que la hipotenusa  al cuadrado es igual al cateto al cuadrado mas el cateto al cuadrado.



Otro método para comprobar si tres puntos están alineados

3 puntos están alineados o están sobre una recta si sus vectores tienen la misma pendiente.
Se podría aducir que tienen igual pendiente pero no están sobre la misma línea, pero éste no va a ser el caso ya que los dos vectores van a involucrar a un mismo punto, por ejemplo el del medio. Por tanto si los dos vectores pasan por un mismo punto, sólo deben tener la misma pendiente para que efectivamente los tres puntos que generan esos dos vectores estén alineados.
En el dibujo podemos ver tres puntos ABC, construimos el vector BA, y el vector  CB. 
como todo vector se construye por la diferencia de las coordenadas de sus puntos, restamos la coordenada en x y en y de ambos puntos.
Observamos que la diferencia entre A y B y la diferencia entre B y C determinan los componentes de ambos vectores que son proporcionales, y como la pendiente de ambos es el cociente entre la coordenada  en y entre la coordenada en x, tenemos que el cociente es el mismo para los dos, por lo que ambos tienen igual pendiente y por tanto los tres puntos son colineales, esto es, están sobre una misma línea.


El plano

Ecuación ordinaria del plano

Vamos a construir la ecuación ordinaria del plano partiendo del conocimiento de tres puntos del mismo.
 Aunque los puntos de los que vamos a partir corresponden a puntos de los ejes cartesianos, el método sirve para calcular la ecuación del plano sean cuales sean los puntos.
Como tenemos que las coordenadas de los tres puntos están en los ejes, tenemos las siguientes coordenadas:        3, 0,0     0, 3,0           0, 0,3
El primer punto, por tener las coordenadas en  y z igual a cero, quiere decir que está sobre el eje x, lo mismo pasa con los otros dos, el segundo al tener las coordenadas en xz con valor cero, significa que el punto está sobre el eje y. Análogamente sucede igual con z.
 Inmediatamente podemos construir la ecuación segmentaria, la que está en el rectángulo azul, colocando en los denominadores el coeficiente 3 debajo de cada variable siendo igual el segundo miembro a uno.
Si queremos obtener la ecuación general, tomamos 2 de los dados y los restamos, por ejemplo z menos y, a continuación hacemos lo mismo con otros dos, por ejemplo y menos x. De esta manera obtenemos los vectores definidos por esos 3 puntos que pasan por el origen de coordenadas y que son paralelos al plano (en el dibujo los vectores azules sobre los planos azules).
Construyendo a continuación el producto vectorial de ambos vectores -ver construcción de determinantes mediante el producto cruz- , tal y como parece en el borde inferior izquierdo del dibujo, podemos obtener el vector normal al plano. Sabemos que los tres componentes  9, 9,9 de este vector son los coeficientes de los tres primeros términos de la ecuación del plano que contiene los puntos, para calcular la constante D sustituimos en la ecuación un punto cualquiera obteniendo el valor de la misma igual a -27.


Plano e intersecciones con los ejes y ecuación de las trazas







Planos que pasan por el origen de coordenadas.






Ecuación segmentaria del plano.
Si tenemos que un plano corta a los tres ejes cartesianos xyz respectivamente en los puntos 14/6,  14/5   y 2, podemos escribir su ecuación segmentaria poniendo estos números como denominadores de los ejes anteriores e igualando la suma de estos miembros a la unidad, tal y como parece en la ecuación encuadrada en el rectángulo verde del dibujo. Esta es la ecuación segmentaria de ese plano.
 De esta manera podemos calcular la ecuación general de un plano sabiendo que éste corta a los ejes coordenados en ciertos puntos, a partir de estos 3 puntos construimos rápidamente la ecuación segmentaria y despejamos la unidad del segundo miembro para igualar la ecuación a cero, obteniendo de esta forma la ecuación general del plano.






Obtención de la ecuación segmentaria


Dada una ecuación general del plano, tal y como aparece en el ejemplo del dibujo en la elipse amarilla, para obtener la ecuación segmentaria del mismo, igualamos los tres términos a cero, pero de dos en dos. De esta forma si igualamos y a cero y z a  cero, despejando tenemos que equis es igual a tres.
Si a continuación igualamos a cero las variables xy obtenemos que el valor de z es cuatro.
Si hacemos por último lo mismo con las otras dos variables, xz, tenemos que el valor de y es 2.

Estos tres puntos que hemos obtenido son los puntos de intersección del plano con los ejes cartesianos, y su ecuación corresponde a las variables divididas por estos números, por ejemplo, si la variable x nos dio como valor tres, eso quiere decir que el punto intersección del plano con el eje x es 3, por tanto este número es el que aparece en el denominador, bajo la variable equis.
Para que esta ecuación se cumpla, al mismo tiempo, la suma de las variables divididas por sus coeficientes correspondientes a los valores de las intersecciones con los ejes,  debe estar igualada a la unidad.





Dada la ecuación segmentaria, obtener la ordinaria del plano








Ecuación general de un plano dados 3 puntos



Tal y como vemos en el dibujo, si nos dan 3 puntos de  un plano, por ejemplo los puntos de coordenadas:
-2, 1,3     2, -1,1    y    3,2, -2  y queremos obtener la ecuación del plano hacemos lo siguiente:
Si tomamos una pareja de puntos y restamos uno menos el otro, obtenemos un vector que es paralelo al plano que contiene a los puntos. Si hacemos lo mismo con otros 2 de los dados, obtendremos otro vector paralelo al plano que pasa por los tres puntos.
Por ejemplo, si tomamos los puntos    2, -1,1    y    3,2, -2  y los restamos, obtenemos el vector 1,3, -3.
Por ejemplo, si tomamos los puntos  2, -1,1    y -2, 1,3  , obtenemos un vector de coordenadas o componentes 4, -2, -2, o lo que es lo mismo respecto a su dirección, 2, -1, -1.
Estos dos vectores de color rosa en el dibujo definen la dirección del plano.
Si aplicamos un determinante -consultar de este blog la ejecución de determinantes- a estos dos vectores, tendremos las coordenadas del vector normal al plano, estos coeficientes 6, 5 , 7 serán los que corresponden a la ecuación del plano.
Para obtener el punto D, sustituimos en las variables un punto cualquiera del plano, teniendo de esta manera su valor, que es -14.