miércoles, 14 de noviembre de 2012

Curvas cónicas



Tenemos que toda cónica es una ecuación de la fórmula como la que aparece en el dibujo en color azul.
Para determinar qué cónica es (circunferencia o elipse o parábola o hipérbola) tenemos que utilizar un discriminante: b al cuadrado -4 por a y por c. Siendo b el segundo término ( con xy), siendo a el coeficiente del primer término que va al lado de la x al cuadrado y siendo c el tercer coeficiente del término de la ecuación que va al lado de la variable y al cuadrado.
Si al operar el discrimínante: b cuadrado menos cuatro por a y por c obtenemos un número negativo, tenemos que la ecuación azul corresponde a una elipse, si nos da cero, tenemos que la ecuación corresponde a una parábola mientras que si tenemos un número positivo, la ecuación corresponde a una curva hiperbólica.




En la figura podemos ver otro ejemplo en el que tenemos la ecuación de una curva cónica. Aplicando el discriminante  u operación que aparece dentro del rectángulo rojo, observamos que es igual a cero, por lo tanto la curva cónica es una parábola.





En la parte superior observamos en un rectángulo verde la ecuación de una cónica. Aplicando discriminante podemos determinar que es una elipse. Para calcular su ecuación ordinaria, agrupamos primero los términos con la variable x,  luego los términos con la variable y, a continuación sacamos factor común de las constantes 3 y 4. 
Los términos que aparecen dentro de el paréntesis tenemos que transformarlos en un trinomio, por tanto tomamos la mitad del coeficiente del segundo miembro, que es dos, y lo elevamos al cuadrado, obteniendo cuatro como término final - en color negro. Hacemos lo mismo con los términos del segundo paréntesis, tomamos el coeficiente constante del segundo término 2 y del que cogemos la mitad 1, este número lo multiplicamos por sí mismo obteniendo nuevamente 1, éste es el tercer término del trinomio segundo.
 Los términos que incorporamos dentro de cada trinomio hay que sumarlos en el segundo miembro, para ello no olvidamos que están multiplicando a las constantes 3 y 4 respectivamente, por tanto sumamos 12 y 4 también en el segundo miembro.
Ahora podemos convertir ambos binomios en binomios al cuadrado conforme a la ecuación de la elipse. A continuación dividimos los términos entre la constante 12 del segundo miembro y obtenemos directamente la ecuación ordinaria.
 Las coordenadas hk del centro de la elipse son (2,1), mientras que los semiejes mayor y menor son, respectivamente 2 (raíz cuadrada de 4) y  1,73 (raíz cuadrada de 3) .



Definición de las cónicas: comprobación gráfica
A continuación podemos mover el punto naranja de cada cónica para verificar su definición.
En el caso del elipse podemos observar que al tomar un punto de la misma, las distancias hasta los focos desde este punto sumadas determinan una dimensión igual al eje mayor, prácticamente queda resuelto al hacer una paralela por el punto al eje mayor de la elipse, desde el punto giramos las distancias hasta los focos hasta obtener las medidas sobre la línea paralela, de esta manera se observa que la suma de ambas medidas es igual al eje mayor de la elipse.
En el caso de la parábola tenemos que para cualquier punto que tomemos de la misma, podemos hacer circunferencias que son tangentes a la recta directriz y que al mismo tiempo pasan por el foco, con lo cual queda demostrado que en la parábola se cumple siempre que para todo punto la distancia al foco es igual a la distancia a la directriz.
En el caso de la hipérbola tenemos que si tomamos un punto y restamos la distancia desde este punto a un foco menos la distancia desde este punto a otro foco tenemos siempre una medida constante igual a la distancia entre los vértices de la hipérbola. Para ello hemos hecho una circunferencia cuyo centro es el punto de la hipérbola y el radio la distancia hasta el foco más cercano, al restar este radio de la distancia hasta el foco más lejano tenemos siempre una distancia igual a la que existe entre las dos ramas de la curva.

Elipse - GeoGebra Hoja Dinámica -->

Elipse

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