miércoles, 14 de noviembre de 2012

Incidencia

Incidir quiere decir estar en, pasar por, es lo mismo que decir que está incluido o que pertenece pero es más genérico por cuanto se puede decir que un punto está incluido en una recta pero no se puede decir que una recta está incluida en un punto, de forma genérica e indistintamente podemos decir que un punto incide en una recta o una recta incide en un punto.

Recta que pasa por 2 puntos

Como la pendiente m de la recta tenemos que es el cociente entre la diferencia de coordenadas sobre el eje y, y  la diferencia de coordenadas sobre el eje x, tenemos la siguiente relación:
m=(y2-y1)/(x2-x1), considerando que las coordenadas de ambos puntos son 2 puntos cualesquiera de la recta, sin importar el orden.
Podemos coger otra vez la misma relación (y2-y1)/(x2-x1) dejando las coordenadas de x2 y2 como términos variables xy.
De la misma forma x1 y1 podría ser otro punto cualquiera de la recta, un ejemplo x3 y3.
De esta forma tenemos que (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)
Si despejamos (x-x1), tenemos que:

  (y-y1)=(y2-y1)(x-x1)/(x2-x1)

Si sobre esta ecuación sustituimos dos puntos cualesquiera de la recta podemos obtener la ecuación de la misma partiendo de los dos puntos dados.

Una vez que hemos sustituido los datos, si despejamos los términos dejando sola la variable y, tenemos una ecuación llamada pendiente-ordenada, ya que el coeficiente que está al lado de la variable x ( -9/5 en el ejemplo) corresponde a la pendiente de la recta. mientras que el coeficiente que queda sin variable alguna (17/5 en el ejemplo) es el punto de intersección de la recta con el eje y.

Si despejamos todos los términos  obteniendo una igualdad a cero obtenemos la ecuación general de la recta.

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Plano que pasa por tres puntos




Para construir un plano que pase por tres puntos, primero determinamos dos vectores directores que serán paralelos al plano, para obtenerlos basta con restar dos puntos cualesquiera de los dados. Por ejemplo si restamos el punto B menos el punto A obtenemos el vector AB, 2 - 1 es 1,             3 - 2 es 1,            7 menos -4 es 11,   hacemos exactamente igual con los puntos AC.
Para obtener los dos vectores podemos coger cualquier pareja de puntos.
A continuación hacemos el producto cruz que es un determinante formado por los dos vectores y que se calcula de la siguiente forma:
Construimos una matriz que contenga a los dos vectores directores con una fila sobre la otra.
Cuando utilizamos el vector i, eliminamos su fila y columna por lo que lo que nos queda es un determinante con las columnas 1,3 y 11,7. Multiplicando de forma cruzada ambos tenemos que 1 × 7 es igual a 7 
a continuación le restamos el producto - 3 × 11 es igual a 33.
En consecuencia 7 + 33 es igual a 40.
A continuación hacemos lo mismo con el vector j, eliminamos su fila y columna y tenemos un determinante formado por 1,3 y 11,7. Multiplicamos de forma cruzada 1 × 7 - 3 × 11, y nos queda -26.
Hacemos lo mismo con el vector k y tenemos que el producto de 1 por -3     - 3 × 1 es igual a -6.

Las coordenadas del vector normal queda definido por los tres componentes de este vector, tomando el segundo, el correspondiente al vector j como negativo
Por tanto el vector 40, -26, -6 queda en 40,26, -6, que es el vector normal.
A continuación, como sabemos que todo plano tiene por coeficientes los componentes del vector normal, tomamos un punto cualquiera y lo sustituimos en sus variables xyz correspondientes para obtener la constante D, despejando tenemos que la constante es igual a -116, por lo que la ecuación queda con los coeficientes del vector normal que multiplica a sus variables correspondientes -116 igual a cero, que es lo que aparece al final en el rectángulo azul.

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Para determinar el plano definido por dos rectas dadas en sus ecuaciones paramétricas, operamos de la siguiente forma:
Tomamos los componentes de sus vectores, que son los términos o coeficientes que aparecen al lado del parámetro t: 2, -3,4 en la recta de ecuaciones de color verde y -2, +4, -3 en la recta roja.
Establecidos así sus vectores u v, despejamos en las ecuaciones el parámetro obteniendo las igualdades que aparecen en el rectángulo rosa, de esta manera podemos calcular el punto de intersección de ambas rectas, que es 1, 7,1. Sabemos que por este punto de intersección va a pasar el vector normal del plano, por lo que habrá que sustituir en la ecuación del plano este punto.
Para calcular el vector normal hacemos el producto cruz del determinante cuyas filas son los dos vectores directores del plano u v.
Una vez que obtenemos el vector normal, sus coordenadas son los términos de la ecuación general en la que sustituimos las coordenadas del punto de intersección para hallar la constante D.
Una vez que hemos obtenido el valor de la constante, que en este caso es 19, los sustituimos en la ecuación que queda tal y como aparece en la elipse amarilla al final del dibujo.

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Obtener la recta de un plano
Tenemos un plano amarillo dado por su ecuación segmentaria,  que es aquella que define en los denominadores los puntos de intersección con los ejes coordenados y al mismo tiempo está igualada a 1,  la suma de estos elementos, x partido 2 + y partido 4 + Z partido 3 igual a 1 es la ecuación segmentaria.  Si hacemos el mínimo común múltiplo tenemos la ecuación en su forma general que es 6 x + 13 + 4 Z = 12

Si le damos valores  x igual a 1 igual a 1,  tenemos que Z vale tres cuartos
si le damos a X valor 1 y   a Y le damos valor 2,  tenemos que Z vale cero

si tenemos las coordenadas de dos puntos AB del plano podemos restarlos y obtener el vector que define la dirección de esos puntos: 1 menos 1 igual a 0,    2 menos 1 igual a 1     y 0 menos tres cuartos igual a menos tres cuartos.
 Una vez que tenemos el vector AB ya tenemos una recta del plano y es aquella que tiene un punto del plano, por ejemplo el de coordenadas 1, 2, 0 y el vector director antes calculado por un parámetro,  tenemos entonces que la ecuación vectorial de la recta perteneciente al plano es:

(xyz)= (1,2,0)+t (0, 1, -3)

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Obtener 3 puntos de una recta dada por su ecuación continua

Tenemos una recta de color azul y se trata de obtener 3 puntos de la misma,  la ecuación continua queda determinada por:

x-3/-1  = y/3  = z-3,75 /    -3,75

Hay un punto que ya conocemos y  es el que tiene por coordenadas lo que aparece a continuación de la variable en el numerador,  pero cambiados de signo,  tenemos:

 x-3/-1  = y/3  = z-3,75 /    -3,75,  al lado de la X tenemos -3,  por tanto la coordenada en x es 3,  al lado de la variable Y tenemos nada,  por tanto vale 0,  y al lado de Z en el numerador tenemos   -3,75,  entonces el valor de la coordenada en Z es 3,75.
eso quiere decir que el punto dado por las coordenadas 3, 0, 3.75 es  en realidad ya un punto de la recta

Si le damos a Z el valor 0 estaremos calculando su intersección con el plano horizontal y así obtenemos en la ecuación la intersección con el plano XY
y/3  = z-3,75 /    -3,75      y/3  = 1           y=3
si sustituimos en la otra ecuación obtenemos que el valor de x es 2

 Por último si le damos a x el valor 0 obtendremos al resolver la ecuación la intersección con el plano Z,  tenemos que el valor de Y vale 9 y el de Z vale menos 7,5

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